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圆周率π的计算历程

  • 发表日期:2005-02-28 【 【打印】【关闭】
  • 圆周率π的计算历程 

    韩雪涛


      圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始,这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数,圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此,几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史,人类对 π 的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究,在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说:“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初,求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值,人类走过了漫长而曲折的道路,它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。

    实验时期

      通过实验对 π 值进行估算,这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界,实际上长期使用 π =3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节,其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中,就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七”,意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。

      早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度,公元前六世纪,曾取 π= √10 = 3.162。在我国东、西汉之交,新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此,他大约也是通过做实验,得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算,其计算值分别取为3.1547,3.1992,3.1498,3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时,对生产没有太大影响,但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。

    几何法时期

      凭直观推测或实物度量,来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

      真正使圆周率计算建立在科学的基础上,首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人,是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。由此,开创了圆周率计算的第二阶段。
    上下界
    圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形,因此 2√2 < π < 4
    当然,这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。

      阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法,体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中,阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值,他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”,他还提供了误差的估计。重要的是,这种方法从理论上而言,能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右,希腊天文学家托勒密得出 π =3.1416,取得了自阿基米德以来的巨大进步。
    割圆

    割圆术。不断地利用勾股定理,来计算正N边形的边长。

      在我国,首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后,刘徽提出著名的割圆术,得出 π =3.14,通常称为“徽率”,他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些,但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界,比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外,有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法,以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均,竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π =3927/1250 =3.1416。而这一结果,正如刘徽本人指出的,如果通过割圆计算得出这个结果,需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分,令人遗憾的是,由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。

      恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此,《隋书·律历志》有如下记载:“宋末,南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。”

      这一记录指出,祖冲之关于圆周率的两大贡献。其